Em uma análise preliminar no contexto da ED, o foco é compreender o estado atual de um determinado conhecimento matemático, verificando como as concepções dos estudantes têm se consolidado, como se encontra o panorama de ensino e uma visão geral do ponto de vista histórico, epistemológico e didático do tema (Almouloud; Silva, 2012; Artigue, 2014). Com base neste levantamento, o investigador visa desenvolver propostas de ensino mais alinhadas às necessidades dos estudantes e em conformidade com as condições em que o tema será desenvolvido no contexto da sala de aula.

No caso deste trabalho, realizamos uma breve revisão bibliográfica do tema, analisando o que já foi escrito por pesquisadores na área, no tocante ao processo histórico-evolutivo dos grupos diedrais, bem como um panorama epistemológico acerca de sua abordagem no âmbito da formação inicial. Ao mesmo tempo procuramos também verificar se existem investigações que envolvem a articulação entre os grupos diedrais e o GeoGebra.

Do ponto de vista histórico, a criação dos grupos diedrais está relacionada ao desenvolvimento da Teoria dos Grupos e à compreensão da simetria em Geometria. Construímos uma linha do tempo (figura 1), com as principais contribuições matemáticas que embasam a sua criação e desenvolvimento:

Figura 1 Fonte: Elaboração dos autores.

A evolução histórica dos grupos diedrais está intrinsecamente ligada ao desenvolvimento mais amplo da Teoria dos Grupos e à compreensão dos conceitos e propriedades das simetrias (Kleiner, 2007). As contribuições de vários matemáticos ao longo do tempo fundamentaram a formalização e o estudo sistemático deste tema, bem como seus contextos de aplicação (Curtis, 1999; Miller, 1964; Wussing, 2007).

Embora esses matemáticos não tenham especificamente introduzido os grupos diedrais em sua forma moderna, suas contribuições para a Teoria dos Grupos e a compreensão da simetria foram cruciais para o desenvolvimento desses conceitos ao longo do tempo. O termo diedral deriva do grego di- (dois) e hedra (base ou face), referindo-se à simetria de um poliedro em relação a dois lados opostos.

No que tange à abordagem epistemológica dos grupos diedrais, esta pode ser explorada por meio dos trabalhos de diversos matemáticos que contribuíram ao longo do tempo para o desenvolvimento da Teoria dos Grupos, da Álgebra Abstrata e da Geometria. Como explica Eves (2002, p. 536):

O estudo dos grupos começou essencialmente com Galois; foi ele o pioneiro no uso (1930) da palavra “Grupo” em seu sentido técnico. As pesquisas em teoria dos grupos foram então levadas adiante por Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) e outros que o sucederam, para o caso particular de grupos de substituições. Com o subsequente notável trabalho de Arthur Cayley (1821-1895), Ludwig Sylow (1832-1918), Sophus Lie, Georg Frobenius (1848-1917), Felix Klein, Henri Poincaré (1854-1912), Otto Holder (1859-1937) e outros, o estudo dos grupos assumiu sua forma abstrata independente e se desenvolveu rapidamente. A noção de Grupo veio a alcançar um grande papel codificador em Geometria [...] e em Álgebra Abstrata no século XX. A teoria dos grupos ainda é, nesta segunda metade do século XX, um campo de pesquisas muito produtivo em Matemática.

Seguindo o percurso histórico apresentado por Eves (2002), bem como tomando por base a análise histórico-epistemológica de Brandemberg (2009), podemos mencionar alguns fatos que compõem a construção evolutiva da Teoria dos Grupos e, de modo associado, de nosso objeto de discussão dentro desta teoria, que são os grupos diedrais.

Évariste Galois (1811-1832), embora não tenha abordado diretamente os grupos diedrais, apresentou contribuições fundamentais para o desenvolvimento da Álgebra Abstrata; já Arthur Cayley (1821-1895) desempenhou um papel importante na formalização dos grupos, introduzindo representações matriciais e contribuindo para a Teoria dos Grupos de Simetrias. Continuando este percurso, temos Felix Klein (1849-1925), que trabalhou em Geometria e Teoria dos Grupos e suas ideias sobre simetria e transformações influenciaram a compreensão dos grupos diedrais (Brandemberg, 2009; Curtis, 1999).

Sophus Lie (1842-1899) trouxe contribuições significativas para a Teoria dos Grupos de Lie, que são uma generalização dos grupos diedrais para espaços mais gerais e seu trabalho foi crucial para a compreensão de simetrias contínuas (Kleiner, 2007). E, dando sequência, temos James Joseph Sylvester (1814-1897), que contribuiu para a teoria dos invariantes e trabalhou com grupos de simetria, com estudos voltados para aspectos algébricos relacionados a estes grupos (Brandemberg, 2009; Eves, 2002).

Esses autores abordaram ao longo do tempo diferentes aspectos da Teoria dos Grupos e contribuíram para o conhecimento acerca dos grupos diedrais, no que diz respeito à evolução do conhecimento matemático relacionado a estes. Para um maior aprofundamento, recomendamos a leitura de seus trabalhos, pois estas podem proporcionar uma compreensão mais profunda da epistemologia desse tópico na matemática.

Acerca de sua abordagem na formação inicial, buscamos na literatura os trabalhos com o tema nos últimos dez anos e encontramos Monteiro, Moura e Fonseca (2019) e o trabalho de Dias e Noguti (2023). Ressaltamos que nesta busca não encontramos abordagem do tema grupos diedrais associado ao uso do GeoGebra. Um trabalho um pouco mais antigo surgiu na busca, ao excluirmos o interstício estabelecido, que foi o artigo de Alves e Araújo (2013). Apesar de apresentar uma abordagem com uso de tecnologias, o recurso utilizado foi o software CAS Maple e a pesquisa não foi direcionada para a sala de aula como abordagem didática, mas sim a apresentação de exemplos de grupos simétricos de permutações com base no software. Ressaltamos também que não há modelo de visualização geométrica neste trabalho.

Monteiro, Moura e Fonseca (2019) sugerem uma proposta concreta para o ensino de grupos diedrais, sem o uso de tecnologias. Os autores justificam o seu estudo com o fato de que “[...] os estudantes têm sérias dificuldades cognitivas e afetivas com Álgebra Abstrata, ou seja, eles têm dificuldades em se tornar competentes e, mesmo entre os que obtêm sucesso, muitos não conseguem ver o objetivo em estudar tal assunto” (Monteiro; Moura; Fonseca, 2019, p. 59). Também apresentam a abordagem visual de conceitos e sugestões de aplicações do tema.

Dias e Noguti (2023) investigaram os distanciamentos e aproximações entre a Álgebra Acadêmica e a Álgebra Escolar nos Projetos Pedagógicos dos Cursos de Licenciatura em Matemática nas Universidades Federais do Rio Grande do Sul. Dentre as sete universidades, apenas uma contempla o tema grupos diedrais na ementa da disciplina de Álgebra Abstrata.

Os estudantes da licenciatura por vezes enfrentam desafios ao estudar os grupos diedrais em Teoria dos Grupos, dada a natureza abstrata e algébrica do tema (Carlson, 2004; Monteiro; Moura; Fonseca, 2019; Wasserman, 2016). Ainda com base em Monteiro, Moura e Fonseca (2019) e Dias e Noguti (2023), tem-se que as principais dificuldades na compreensão deste tema podem ser: (a) a compreensão abstrata dos conceitos de grupo e suas propriedades; (b) a notação específica e a terminologia de grupos; (c) o entendimento das simetrias geométricas representadas pelos grupos diedrais sem uma representação visual clara; e (d) falta de conexão do tema com aplicações práticas no âmbito da licenciatura, o que pode reduzir o interesse e a compreensão do assunto.

Partindo deste panorama, temos o intuito de propor o software GeoGebra como ferramenta para o estudo do tema, propiciando a visualização, a manipulação e a compreensão das peculiaridades e propriedades dos grupos diedrais, visando desenvolver a articulação Álgebra-Geometria com ênfase na produção de uma situação didática para o ensino deste tema na licenciatura em matemática.

Diversos autores defendem o uso do GeoGebra no que diz respeito à visualização e, dentre eles, mencionamos Alves (2019), Bairral e Barreira (2017), e Mathias, Silva e Leivas (2019). Bairral e Barreira (2017, p. 52) afirmam que “[...] a visualização e a representação são evidenciadas como uma das potencialidades dos ambientes de geometria dinâmica, como o GeoGebra”.

De acordo com Alves (2019), considerando as capacidades do software GeoGebra para solucionar problemas, realizar manipulações, visualizar e compreender conceitos, os professores têm a oportunidade de incentivar a participação ativa dos alunos em uma exploração dinâmica de propriedades numéricas, algébricas e geométricas, contribuindo para o desenvolvimento educacional. Mathias, Silva e Leivas (2019) complementam afirmando que o GeoGebra é um ambiente peculiar e pode proporcionar ao utilizador “[...] a manipulação e a animação das construções realizadas, de forma que não percam suas propriedades inerentes. Além disso, é possível obter a sua posterior visualização, a fim de perceber possíveis generalizações” (Mathias; Silva; Leivas, 2019, p. 63).

Para melhor compreensão da proposta didática deste artigo e seu ensino associado ao uso do GeoGebra, apresentamos algumas definições e propriedades matemáticas na subseção que segue.

Artigue (2014) aponta que uma análise a priori procura especificar as possibilidades selecionadas (dentre as situações que se colocam em jogo no processo experimental), os valores das variáveis didáticas (microdidáticas ou macrodidáticas) que são produzidas a partir dessa seleção e o significado que os comportamentos esperados podem ter, levando em conta esses valores. Almouloud e Silva (2012, p. 27) reiteram que, na análise a priori, pode-se realizar uma previsão de comportamentos e “[...] tentar demonstrar como a análise permite controlar seus significados e assegurar, particularmente, que se tais comportamentos esperados ocorreram, é por consequência do desenvolvimento visado pela aprendizagem”.

Nesta etapa da ED, em que apresentamos uma proposta didática para o ensino de grupos diedrais com o GeoGebra, utilizando os seus recursos visuais e manipuláveis, assumimos a premissa de que a visualização e a manipulação algébrica/geométrica desta construção configura-se como um potencial norteador na mediação didática do docente ao trabalhar com o referido tema. Segundo Alves (2020, p. 340) “[...] o professor poderá valorizar o papel da visualização, mediante a exploração do software GeoGebra, tendo em vista a aquisição de uma cultura matemática e o delineamento de hábitos intelectuais aplicáveis em outras situações”.

Alves e Dias (2019, p. 6) salientam que “[...] a ED é uma metodologia de pesquisa, sendo assim se torna indispensável o uso de teorias que servem para fundamentar a investigação e para a leitura/interpretação dos dados possivelmente produzidos pelos estudantes”. Assim, reforça-se que o docente explore uma teoria de ensino compatível com o planejamento dos conteúdos e os objetivos a serem atingidos na aula, como forma de orientar seu trabalho.

Para o trabalho de forma articulada com a ED, traz-se a Teoria das Situações Didáticas (TSD) (Brousseau, 2002, 2008) como forma de organizar e modelar uma situação didática envolvendo o assunto, a partir de uma construção elaborada no GeoGebra, buscando prever comportamentos do estudante mediante a situação didática proposta.

Em Brousseau (2008, p. 20), o autor define que “[...] uma ‘situação’ é um modelo de interação de um sujeito com um meio determinado”. Assim, as situações didáticas remetem aos modelos que descrevem as relações das atividades entre aluno, professor e o milieu. De forma ampla, o milieu se refere ao meio adidático, sendo o conjunto de elementos que compõem esse ambiente. Este inclui não apenas os aspectos físicos do ambiente de ensino, como a sala de aula e os materiais didáticos, mas também os elementos sociais, culturais e cognitivos que influenciam a situação de aprendizagem.

Sumariamente, a TSD prioriza o desenvolvimento do aluno de forma ativa e autônoma e é modelada por dialéticas, que segundo Brousseau (2008) podem ser descritas, em síntese, como:

Dialética de ação: é o momento da tomada de posição, onde o aluno tem o primeiro contato com a questão/problema e busca em seus conhecimentos prévios encontrar elementos necessários para desenvolver possíveis caminhos para a solução.

Dialética de formulação: etapa em que há troca de informação entre o meio e o aluno; é o momento de expor as ideias de forma clara e verbalizada, porém sem nenhuma formalização rigorosa. O aluno traça estratégias e começa a se apropriar do conhecimento.

Dialética de validação: o aluno demonstra sua estratégia para os colegas e o professor (mediador), buscando convencê-los de seus argumentos e validar sua resposta dentro do sistema previamente estabelecido.

Dialética de institucionalização: o momento em que o professor sintetiza de forma significativa tudo o que foi exposto nas etapas anteriores, formalizando o caráter matemático do que foi validado pelos alunos.

Portanto, pode-se perceber a situação didática como uma situação em que prevalece a dialética da circunstância e do contexto, sendo essencial que o professor faça o elo entre suas etapas e a transposição do conhecimento, como forma de assegurar que os objetivos sejam atingidos na aula planejada. Importa salientar que para a compreensão e desenvolvimento do estudante na situação didática proposta, torna-se necessário que este tenha conhecimentos prévios sobre a noção de grupos e sua condição de existência e de simetrias em Geometria.

Assim, para articular a ED e a TSD, viabilizando o ensino de grupos diedrais, apresentamos a seguinte situação:

Sugere-se que a situação didática proposta seja desenvolvida em turmas de Licenciatura em Matemática nas quais os estudantes estejam estudando a disciplina de Estruturas Algébricas e/ou Álgebra Abstrata, e que o docente possa realizar uma abordagem didática de simetrias em polígonos regulares utilizando a ferramenta GeoGebra. Espera-se que os estudantes tenham conhecimento prévio sobre polígonos regulares e suas características básicas, bem como sobre operações de rotação e reflexão.

Dito isto, a situação didática tem como objetivos: (a) investigar e descrever todas as simetrias possíveis para um polígono de n lados; (b) provar as condições de existência para que esse conjunto de simetrias seja considerado uma estrutura de grupo.

Na figura 2 temos a construção inicial proposta.

Figura 2 Fonte: Elaboração dos autores.

Recomenda-se que o professor recapitule o conceito de simetrias em polígonos regulares, explicando que uma simetria é uma transformação que deixa uma figura inalterada após aplicada. Além disso, é aconselhado mostrar aos estudantes o recurso construído no GeoGebra, destacando os botões R_n (rotação) e S_n (reflexão), que representam movimentos de rotação e reflexão em polígonos regulares.

Na dialética de ação espera-se que os estudantes, de posse da construção, utilizem o GeoGebra para interagir com o polígono, experimentando diferentes rotações e reflexões a partir dos botões R1, R2 e R3 e S1,S2 e S3, observando como as simetrias se comportam conforme o número de lados do polígono varia. Almeja-se, da mesma forma, que verifiquem que os controles deslizantes n e vel alteram a quantidade de lados do polígono e a velocidade nos movimentos de rotação e reflexão, respectivamente. Os estudantes podem ser incentivados a registrar suas observações e descobertas de forma manuscrita.

As figuras 3, 4 e 5 mostram possibilidades de uma exploração interativa dentro da dialética de ação, em que os estudantes podem identificar todas as rotações possíveis r, onde k é um divisor positivo de n e todas as reflexões possíveis, s, onde j é um divisor positivo de 2n.

Figura 3 Fonte: Elaboração dos autores.

Figura 4 Fonte: Elaboração dos autores.

Figura 5 Fonte: Elaboração dos autores.

Na dialética de formulação, almeja-se que os estudantes formulem hipóteses sobre as características das simetrias observadas, verificando os padrões e testando suas conjecturas para diferentes polígonos regulares, observando se as simetrias se mantêm. Propõe-se que sejam estimuladas discussões em pequenos grupos, de dois ou três estudantes, no intuito de que ocorra um compartilhamento de informações, como prevê a TSD (Brousseau, 2002). Após explorar a construção, os grupos podem discutir suas descobertas e compartilhar as simetrias que encontraram, e as características comuns entre elas, enquanto o professor orienta a discussão, fazendo perguntas que levem os alunos a pensar sobre as propriedades das simetrias e como elas se relacionam com os conceitos matemáticos estudados.

Os estudantes são desafiados a provar que o conjunto de simetrias de um polígono de n lados forma uma estrutura de grupo. Sugere-se que revisem os conceitos de grupo e suas propriedades e trabalhem juntos para demonstrar as propriedades de fechamento, associatividade, identidade e inverso para as simetrias encontradas.

Desta forma, os estudantes podem provar as propriedades de grupos a partir de algum valor pré-fixado no controle deslizante n. Exemplificamos um dos valores que pode ser analisado pelos estudantes, em que adotamos n = 4, que seria o grupo diedral D4, referente a todas as simetrias de um quadrado. Este grupo é gerado por duas operações: uma rotação de 90° graus no sentido horário, denotada por r, e uma reflexão em relação a um eixo vertical, denotada por s. O conjunto de elementos do grupo D₄ é {e, r1, r2, r3, s1, s2, s3, s4}, onde e é a identidade, ou equivalente a um movimento de 0°.

A visualização de cada um destes elementos ao explorar a construção no GeoGebra é apresentada nas figuras 6 e 7.

Figura 6 Fonte: Elaboração dos autores.

Figura 7 Fonte: Elaboração dos autores.

Note nas figuras 6 e 7 que temos os quatro movimentos referentes às rotações em D4 e os quatro movimentos para as reflexões, respectivamente. A partir da visualização no GeoGebra, os estudantes podem também provar as propriedades para que D4 seja comprovadamente uma estrutura algébrica de grupo:

(a) Associatividade:

Logo, r1 ∘ (s1 ∘ s2) = (r1 ∘ s1) ∘ s2, sendo válida a associatividade.

(b) Existência de elemento neutro:

É o elemento e, que corresponde à rotação de 0^∘ , pois r1 ∘ e = e ∘ r1 = e.

(c) Existência de inverso:

Assim, segue que D4 é fechado sob a operação de composição, pois a composição de quaisquer dois elementos resulta em outro elemento no grupo. Portanto, o conjunto {e, r1, r2, r3, s1, s2, s3, s4} com a operação de composição forma um grupo, conhecido como grupo diedral D4, que descreve as simetrias de um quadrado. A partir da manipulação e da visualização no GeoGebra, também é possível construir a tábua do grupo D4:

É possível, ainda, que durante a dialética de formulação os estudantes consigam estabelecer hipóteses para provar as propriedades algébricas de grupo para o caso dos grupos diedrais D_n, seguindo as etapas usuais de demonstração. Ressaltamos que adotamos arbitrariamente a demonstração das propriedades do grupo D4, contudo, esta demonstração poderia ter sido realizada a partir de qualquer valor de n disposto no intervalo de valores do controle deslizante. Dada a brevidade deste manuscrito e a natureza teórica deste trabalho, atentamo-nos a demonstrar apenas um modelo de polígono na situação didática.

Na dialética de validação, estas etapas podem ser demonstradas e justificadas com base na construção no GeoGebra, em que algumas características e propriedades podem ser visualizadas. É esperado que nesta etapa a discussão gire em torno das demonstrações e provas das propriedades básicas de grupos, generalizando para D_n. Cada grupo pode apresentar suas descobertas e provas para a turma, em que se espera que, após esta atividade, os estudantes apresentem uma compreensão mais clara das simetrias em polígonos regulares e como elas formam uma estrutura de grupo.

Para validar a situação, os estudantes podem utilizar as propriedades que definem a condição de existência de um grupo. Demonstramos um modelo de validação, de modo não exaustivo, com uma abordagem geral relativa às rotações e reflexões em D_n:

As demonstrações sugeridas têm por base as propriedades específicas de D_n, em que o conjunto de elementos consiste em rotações r_i (para 0 ≤ i < n) e, de modo análogo, nas reflexões s_i (para 0 ≤ i < n) (Garcia; Lequain, 2015).

A dialética de institucionalização pode ser conduzida de modo a promover a reflexão dos estudantes acerca do conhecimento estudado, reforçando a compreensão de conceitos. Dito isto, são possibilidades ao docente fazer um resumo das descobertas, retomada de conhecimentos prévios, contextualização do tema, reforço de conceitos-chave abordados, bem como a realização de uma avaliação informal, observando as reações dos estudantes e fazendo perguntas para avaliar seu nível de compreensão. Este é um momento para esclarecer dúvidas remanescentes e fornecer feedback adicional, se necessário.

O professor pode realizar uma apresentação teórica do grupo , em que R representa uma rotação e S representa uma reflexão, a partir das obras de Garcia e Lequain (2015) e Dillon (2018), verificando com a construção no GeoGebra as propriedades para que D_n seja considerado um grupo em uma perspectiva visual. É possível que, a partir do controle deslizante, seja enfatizado que D_n tem ordem 2n, consistindo em n rotações e n reflexões, como brevemente explicitado em nossa análise preliminar.

Outras notações e propriedades dos seus elementos podem ser exploradas, como a construção da tabela de Cayley, ou tábua do grupo, a descrição de simetrias em P_n com justificativas matemáticas, a aplicação dos conceitos aprendidos em polígonos mais complexos e a discussão em sala de aula sobre diferentes abordagens e possíveis aplicações do tema.