Para responder la pregunta 1 (figura 2) es necesario construir una explicación descriptiva que no requiere de la realización de cálculos matemáticos, ya que es suficiente comparar los datos numéricos del enunciado. Una opción es analizar el diagrama de cuerpo libre de B, considerar que la tensión es mayor que el peso por lo tanto la aceleración es positiva en el sistema de coordenadas definido y como el bloque está inicialmente en reposo va a subir aumentando su rapidez. Otra opción es considerar que aumenta la energía cinética del bloque porque el trabajo de la tensión es positivo mientras que el trabajo del peso es negativo y en módulo menor. Por los datos que se dan en el enunciado, es posible responder esta pregunta analizando sólo el bloque B aunque también se puede estudiar el sistema formado por ambos bloques.

Figura 2 Fuente: elaborada por las autoras y los autores.

Son 37 personas quienes responden esta pregunta y se encuentra que 10 lo hacen apelando al lenguaje natural, 12 basan su descripción únicamente en lenguaje matemático y 15 utilizan una combinación de palabras y expresiones algebraicas (tabla 2).

En la figura 3 se muestra un ejemplo del uso del lenguaje matemático para la descripción y en la figura 4 una respuesta que apela únicamente al lenguaje natural.

Figura 3 Fuente: elaborada por las autoras y los autores.

Figura 4 Fuente: elaborada por las autoras y los autores.

En relación a las 27 respuestas que realizan algún desarrollo matemático, en 23 casos hay un análisis dinámico y cinemático de la situación mientras que en los otros 4 se presentan consideraciones energéticas.

De las 25 respuestas que describen el movimiento con palabras, 6 personas además argumentan que el bloque A baja porque es más pesado que el bloque B. En estos casos se puede observar que una explicación descriptiva no les resulta suficiente y por eso suman una explicación de tipo causal. Un ejemplo puede verse en la figura 5.

Figura 5 Fuente: elaborada por las autoras y los autores.

En cuanto a las representaciones gráficas que realizan en el planteo inicial, se encuentra que en 29 resoluciones realizan un esquema conceptual, es decir, el diagrama de cuerpo libre de al menos uno de los bloques. En 13 de esas resoluciones además se replica el esquema de la situación del enunciado, en muchos casos incorporando los datos numéricos.

Para responder el ítem a de la pregunta 2 (figura 6) sería suficiente considerar que la soga es inextensible y, por lo tanto, la suma de las alturas de ambos bloques es de 0,8 m.

Figura 6 Fuente: elaborada por las autoras y los autores.

No se encuentran errores matemáticos en las 35 respuestas a este ítem. Veintisiete personas utilizan la relación entre las posiciones de los cuerpos que se deriva del vínculo de la soga. De éstas, 23 utilizan alguna ecuación (figura 7) mientras que 4 sólo escriben el resultado. Siete resuelven utilizando cinemática, es decir, despejan el tiempo de la ecuación horaria de la posición del cuerpo B y lo reemplazan en la ecuación de posición del cuerpo A, como puede verse en la respuesta de la figura 8. Por último, una persona responde la pregunta a partir de un análisis energético incorrecto del sistema. Estos resultados se presentan en la tabla 3.

Figura 7 Fuente: elaborada por las autoras y los autores.

Figura 8 Fuente: elaborada por las autoras y los autores.

Para responder el ítem b de la pregunta se pueden utilizar las ecuaciones horarias de posición y velocidad del cuerpo B y luego utilizar la relación entre las velocidades de los cuerpos para obtener la velocidad de A. Otro procedimiento posible consiste en plantear que la energía mecánica del sistema formado por ambos bloques se conserva y utilizar la relación de velocidades.

Un total de 22 personas responden este ítem y, en general, no se encuentran errores matemáticos en las respuestas. En la tabla 4 se presentan los resultados. En 12 respuestas se utilizan las ecuaciones horarias de la posición y de la velocidad para hallar el tiempo y la velocidad del cuerpo B y luego repiten el mismo procedimiento para el cuerpo A. Otras dos personas utilizan el mismo procedimiento, pero sólo para un cuerpo contestando de manera incompleta la consigna. Tres personas utilizan las ecuaciones horarias de la posición y la velocidad para hallar la velocidad del cuerpo B y luego utilizan la relación de velocidades para expresar que la velocidad del otro cuerpo tiene el mismo módulo, pero sentido contrario (figura 9). Cinco personas realizan un planteo energético incorrecto.

Figura 9 Fuente: elaborada por las autoras y los autores.

Para contestar la pregunta 3 (figura 10) es necesario hacer cálculos, obtener un resultado y luego evaluar la magnitud obtenida comparando con la situación particular del problema, es decir con las restricciones del sistema.

Figura 10 Fuente: elaborada por las autoras y los autores.

En este caso, una de las restricciones a tener en cuenta es la del dominio de la posición del bloque, ya que no puede atravesar el piso. Matemáticamente esto se representa con que los valores de la coordenada y deben ser mayores o iguales a cero. Sin embargo, se podría resolver la situación pedida apelando sólo a comparar la velocidad dada con la velocidad que alcanza el bloque cuando llega al piso.

La pregunta es contestada por 19 personas (tabla 5). Quince de ellas resuelven a partir de ecuaciones de cinemática. Otras dos lo hacen con un planteo a través de la energía. Dos personas más responden sólo si es posible o no que el bloque alcance esa velocidad apelando a palabras, pero sin justificar, como el caso mostrado en la figura 11. Llegan a la conclusión correcta 10 personas, todas ellas del grupo que utiliza ecuaciones de cinemática.

Figura 11 Fuente: elaborada por las autoras y los autores.

Respecto de las estrategias de resolución, se observa que las dos personas que plantean la pregunta desde la visión energética asumen erróneamente la conservación de la energía mecánica de cada bloque por separado. Aun así, operan obteniendo un resultado que evalúan en relación a la situación física. Dado que obtienen una rapidez mayor a 3 m/s al final del recorrido, sólo afirman que es posible alcanzarla asumiendo la continuidad de la velocidad. En cuanto a las resoluciones en las que se utiliza la descripción cinemática del movimiento la estrategia utilizada por 11 de las 15 personas, es la búsqueda del tiempo en que la rapidez vale 3 m/s para, posteriormente, determinar el valor de la posición para ese tiempo, como en el caso ilustrado en la figura 12. Los demás eligen buscar la velocidad que tiene el bloque al llegar al piso y compararla con el valor dado (figura 13). En ambos casos, se observa un uso correcto de las ecuaciones y se encuentran muy pocos errores.

Figura 12 Fuente: elaborada por las autoras y los autores.

Figura 13 Fuente: elaborada por las autoras y los autores.

En cuanto a las argumentaciones que se utilizan en las 19 respuestas, 4 personas no construyen una justificación; otra obtiene un valor para la altura que es mayor que cero para esa rapidez y por lo tanto no justifica su respuesta. En los 14 restantes se utilizan diferentes formas de argumentación, expresadas en vocabulario común haciendo referencia explícita al límite impuesto por el piso o expresadas en términos matemáticos. Puede verse un ejemplo en la figura 14.

Figura 14 Fuente: elaborada por las autoras y los autores.

En las respuestas a esta pregunta se evidencia el planteo de la restricción de los valores que puede tomar la posición de los cuerpos. La ecuación que describe esa restricción, de acuerdo al sistema de coordenadas planteado en el enunciado, es y≥0. En 8 casos llegan a un resultado negativo para la posición y explican que es un resultado absurdo. Están utilizando la restricción del dominio de las posiciones explícitamente. Otras estrategias de resolución adoptadas, con resoluciones exitosas también, no necesitan mirar el dominio de la posición, sino que basta con fijar el valor de y=0 para el piso. En una resolución (figura 15) se utiliza la continuidad de la velocidad para argumentar la respuesta.

Figura 15 Fuente: elaborada por las autoras y los autores.

Para contestar el ítem a de la pregunta 4 (figura 16) hay diversos caminos posibles: utilizar las relaciones de posición y velocidad entre los cuerpos A y B que impone la soga inextensible en conjunto con los datos de la tabla; trabajar directamente sobre la cinemática de B sin apelar a los vínculos con el cuerpo A ni a la tabla; trabajar desde conceptos de energía – utilizando o no los vínculos – o se podría optar por un camino mixto entre los anteriores.

Figura 16 Fuente: elaborada por las autoras y los autores.

Este ítem fue contestado por 15 estudiantes, los resultados se presentan en la tabla 6. Hay 6 respuestas que utilizan cinemática en la resolución: tres trabajan con cinemática de manera independiente para el cuerpo B, calculando los tiempos y las velocidades para las alturas dadas llegando al resultado correcto y otros tres resuelven utilizando alguna relación de vínculo entre los cuerpos y cinemática. En nueve respuestas se utilizan las relaciones de vínculo y la tabla de datos, correcta o incorrectamente, para contestar la pregunta (figura 17). En cuatro de estas respuestas llegan al resultado correcto vinculando las alturas y velocidades de ambos cuerpos y utilizando los valores de la tabla. Cinco respuestas llegan a un resultado incorrecto que proviene de asignarle al cuerpo A las posiciones dadas para el cuerpo B.

Figura 17 Fuente: elaborada por las autoras y los autores.

Las trece personas que contestaron el ítem b de esta pregunta consideran razonable el resultado que obtuvieron. Al justificar esa respuesta apelan a diversas características del sistema, entre otras: la aceleración del cuerpo B, la diferencia de pesos entre los cuerpos, la condición de soga inextensible y la elección del sistema de coordenadas. Ejemplos de lo anterior pueden verse en las figuras 18 y 19, respectivamente.

Figura 18 Fuente: elaborada por las autoras y los autores.

Figura 19 Fuente: elaborada por las autoras y los autores.

Catorce personas proponen una resolución alternativa al contestar el ítem c de la pregunta. Quienes lo resolvieron utilizando las relaciones de vínculo proponen, en su mayoría, el uso de cinemática como camino alternativo; y quienes lo resolvieron por cinemática proponen trabajar con conceptos de energía o utilizando la tabla.

A partir del análisis de las resoluciones de cada persona y de la consideración de las preguntas de investigación planteadas para este trabajo, pueden definirse tres dimensiones que toman en cuenta los aspectos salientes de los resultados: las particularidades de las resoluciones en las que se usa el enfoque energético, el desgranamiento en el número de respuestas cuando se requieren conversiones al lenguaje matemático y la utilización de las restricciones de vínculo que impone la soga inextensible.

En seis de las 37 resoluciones las y los estudiantes eligen plantear el problema desde el punto de vista de la energía mecánica. En dos resoluciones aparecen escritas algunas relaciones de variación de la energía, pero no operan con ellas. En las otras cuatro operan con las expresiones de energía y aparecen claramente dos cuestiones: se postula que la energía mecánica de cada bloque se conserva y, ante resultados negativos para el cuadrado de la velocidad, señalan explícitamente que debe haber un error. Por ejemplo, escriben: “no sé por qué quedó un menos, hice algo mal…” y “me da con signo negativo, pero lo ignoré para seguir resolviendo” (figuras 20 y 21). En estas resoluciones puede observarse que, aun reconociendo los resultados matemáticos erróneos a los que lleva el planteo de la conservación de la energía para cada cuerpo, las y los estudiantes no cuestionan esa regla que asumieron como verdadera.

Figura 20 Fuente: elaborada por las autoras y los autores.

Figura 21 Fuente: elaborada por las autoras y los autores.

Respecto del desgranamiento en el número de respuestas cuando se requieren conversiones al lenguaje matemático se encuentra que 37 personas responden la primera pregunta y este número disminuye a medida que avanzan en las resoluciones (tabla 1). La mayor diferencia se observa entre el número de personas que resuelven la pregunta 2a y la 2b, que son 35 y 22 respectivamente. Es de notar que la pregunta 2b es la primera en la que se requiere operar matemáticamente con las ecuaciones del modelo elegido. Se torna interesante, entonces, buscar las similitudes y diferencias entre las resoluciones de quienes sólo pudieron responder hasta la pregunta 2a y quienes continuaron resolviendo el problema.

Como puede observarse en la tabla 7, dentro de las personas que responden hasta la 2a se encuentra que el 62 % realiza el diagrama de cuerpo libre para al menos uno de los cuerpos del sistema, el 54 % escribe la ecuación correspondiente a la segunda ley de Newton y el 31 % explicita la relación entre las aceleraciones de los cuerpos. Estos porcentajes aumentan al 82 %, 86 % y 96 % respectivamente en el grupo de las personas que resuelven la pregunta 2 completa. Estos resultados parecen sugerir que realizar la conversión a la representación en lenguaje matemático de las restricciones es un punto crítico para avanzar en la resolución del problema.

Respecto del uso explícito, o no, de la restricción en el movimiento de los cuerpos que impone la soga inextensible se hace evidente en la resolución de la pregunta 2 y la pregunta 4a. En la pregunta 2a puede utilizarse la relación de posiciones, en la 2b la de velocidades y en la 4a es necesario el uso conjunto de ambas relaciones cuando se utilizan los datos de la tabla. Cabe mencionar, que al realizar el análisis de los datos notamos que haber incorporado el valor de la tensión en el enunciado implicó que todo el problema pudiera ser resuelto sin utilizar las restricciones que impone el vínculo de la soga. Dentro de las 13 resoluciones que contestan las preguntas mencionadas desde un enfoque dinámico y cinemático aparecen tres grupos con diferentes estrategias de resolución. Por un lado, en un grupo de 3 resoluciones se encuentra una estrategia que se basa en trabajar el movimiento de ambos cuerpos de manera totalmente independiente a la que llamamos estrategia de cinemática independiente. Este grupo se caracteriza por encontrar la aceleración del sistema, luego escribir las ecuaciones horarias para cada cuerpo y contestar todas las preguntas trabajando a partir de ellas. Una vez que escriben las ecuaciones horarias de cada bloque conectan los movimientos solo a través del tiempo, considerando que son simultáneos. Por otro lado, en un grupo de 4 resoluciones se utiliza una estrategia a la que llamamos de uso exclusivo de vínculos. Esta estrategia se caracteriza por resoluciones basadas únicamente en las relaciones de posición y velocidad de ambos cuerpos, trabajando de manera explícita con la restricción que impone la soga en el movimiento de ambos cuerpos. Por último, un grupo de 6 personas utilizan una estrategia que llamamos mixta en las que se encuentran resoluciones que alternan el uso de cinemática o las relaciones que se derivan del vínculo de la soga. En estas respuestas utilizan el vínculo de la soga para contestar la pregunta 4a; sin embargo, usan diferentes estrategias de resolución en la pregunta 2: en 3 casos utilizan cinemática y en otros 3 las relaciones de vínculo en la 2a y cinemática para ambos cuerpos en 2b.